Questo articolo è stato originariamente pubblicato su Domus 1058, giugno 2021. 

Tradizionalmente, architetti e matematici hanno utilizzato due diversi metodi per lo studio e la manipolazione della forma geometrica: la geometria analitica, nota anche come geometria delle coordinate, che descrive e modula la forma attraverso equazioni algebriche; la geometria descrittiva (legata alla materia conosciuta fin dall'antichità come geometria solida), che opera attraverso mezzi grafici più diretti, costruendo rappresentazioni proiettive direttamente con gli strumenti di disegno, la riga e il compasso.

Per gli architetti, comprendere la reciprocità tra questi metodi, oggi e nella storia, è importante. Mentre la modellazione digitale e il calcolo sembrano rendere più liberi i processi di progettazione, facilitando la produzione di forme più complesse e analitiche, gli assiomi della geometria continuano invece a limitare i risultati a causa di intrattabili questioni di rappresentazione, materialità e costruzione. A Cartesio (1596-1650) viene generalmente attribuita l'invenzione della geometria analitica, ma i precedenti risalgono all'antica Grecia, in particolare a quando Menecmo (380-320 a.C.) escogitò un'elegante soluzione al problema di Delo, che implicava la costruzione e l'intersezione di due curve, una parabola e un'iperbole, entrambe sezioni coniche. Come “manifestazione geometrica dello spazio di soluzione delle espressioni algebriche”, le coniche furono fondamentali per lo sviluppo della geometria analitica, descrivendo molti comportamenti della meccanica newtoniana. Dalle orbite celesti (ellittiche) all'accelerazione gravitazionale, fino ai proiettili, all'ottica e all'acustica (paraboliche), al rilevamento GPS, agli eliostati (iperboliche), la loro utilità non è mai troppo enfatizzata. 

Due millenni più tardi, La Géométrie (1637), il conciso testo matematico di Cartesio, fornì metodi per fondere algebra e geometria attraverso l'idea cruciale di un sistema di coordinate, permettendo alle espressioni polinomiali di essere rese graficamente in 2D e 3D. La stesura della geometria analitica avviene in notazione algebrica, tuttavia la visualizzazione delle sue curve e superfici funzionali è sempre stata parte integrante della disciplina. Tutte le equazioni potevano ora essere rappresentate graficamente da punti, curve o superfici. Per converso, tutti i punti, le curve e le superfici geometriche correlate potevano così essere descritte matematicamente tramite la notazione algebrica. Nel considerare tali relazioni deterministiche tra notazione scritta e forma geometrica, un architetto potrebbe esaminare vari paralleli nella pratica contemporanea, come la reciprocità tra un foglio di calcolo BIM e una proposta architettonica, o tra uno script di Grasshopper e una superficie parametrizzata. Mentre le tecniche della geometria analitica impiegano sia la notazione algebrica sia la rappresentazione visiva, i metodi della geometria descrittiva sono saldamente ancorati a quest'ultima. Come riaffermazione radicale della geometria solida (vedi Robin Evans, The Projective Cast, 1995), la pubblicazione della Géométrie descriptive (1799) di Gaspard Monge (1746-1818) codificò alcune tecniche eleganti che permisero all'architetto e all'ingegnere di analizzare le informazioni proiettive in modo economico, consentendo un controllo intelligente delle tre dimensioni dello spazio euclideo sulla superficie piana del disegno.

La geometria descrittiva divenne il metodo di indagine progettuale preferito dall'architetto, che si sentì autorizzato a esplorare un’estesa gamma di stimolanti idee architettoniche e geometriche, ma dopo l'ascesa del calcolo differenziale nel XVIII secolo servì anche a favorire l'allontanamento tra l'architettura e la matematica. Anche i coni e le loro curve di sezione hanno giocato un ruolo importante nello sviluppo e nella diffusione delle tecniche descrittive. Mentre le forme a volta e a torretta erano presenti nelle costruzioni architettoniche fin dall'antichità, per il “geometra descrittivo” le superfici rigate (quelle dove almeno un campo di curve U o V è composto da linee rette) come il cono e il cilindro (con una sola riga) presentavano un forte e rinnovato interesse. La presenza di linee rette sulle loro superfici significava che era sufficiente gestire le proiezioni di due Punti discreti per conoscere la posizione degli infiniti punti lungo quella linea. Studi proiettivi di superfici rigate - coni, cilindri, conoidi, elicoidi, ecc - simili a quelli presenti nel testo di Monge erano apparsi in numerosi trattati di architettura oltre cent’anni prima della Géométrie descriptive. La stessa proprietà geometrica che permetteva la proiezione conveniente nel disegno, era anche strumentale per la costruzione stereotomica (taglio della pietra), che divenne più compiuta e strutturalmente audace con l'aumento delle tecniche descrittive. Le superfici esterne delle costruzioni in muratura di pietra erano spesso curve su un asse e piatte sull'altro. La presenza di linee di demarcazione sull'asse non curvo permetteva ai muratori di tagliare con precisione e di verificare le dimensioni della superficie con strumenti a bordo dritto. 

Così, la tendenza della rappresentazione descrittiva a favorire l'uso di superfici rigate è stata rafforzata dalle necessità altrettanto pragmatiche della stereotomia. I metodi di calcolo e visualizzazione digitale sono stati probabilmente più liberatori per l'architetto di oggi di quanto lo fossero i metodi di Monge nel XVIII secolo. La potenza e l'accessibilità dei processi di progettazione digitale hanno permesso ai progettisti di creare forme complesse in modo rapido e iterativo, arrivando a sciogliere gli ingombranti vincoli della proiezione mongeana e della costruzione stereotomica (volumetrica), che hanno cospirato per insistere che noi disegnassimo e costruissimo usando almeno alcune linee rette. Tuttavia, lo spostamento contemporaneo dell'architettura verso metodi di fabbricazione basati su fogli di materiale (tranne la pietra) per la resa delle superfici ha generato nuove relazioni costrittive e reciproche tra la geometria del progetto e la costruzione materiale. A meno che non ci sia una deformazione del materiale, la costruzione accurata delle superfici curve simultanee dipende in gran parte dal comportamento geometrico e materiale della sviluppabilità isometrica.

Per accettare i metodi di costruzione contemporanea, la maggior parte delle superfici che presentano una curvatura complessa durante le fasi di progettazione devono essere post-razionalizzate in parti di coni, cilindri o altre superfici rigate sviluppabili. Questi processi sono ben noti a studi come Gehry Partners, e servono a esemplificare la costante rilevanza delle superfici coniche e rigate, anche nel quadro delle prodezze digitali computazionali della pratica contemporanea.

La geometria non può essere ingannata o aggirata, poiché la sua ubiquità e coerenza sono sempre attuali. Le discipline della geometria analitica e descrittiva sono due parti di un sistema assiomatico capace di tracciare infiniti effetti e metodi spaziali per l'architetto – dalla meccanica newtoniana del mondo naturale, all'astrazione della proiezione mongeana, all'intelligenza materiale della costruzione. L'ostinata e molteplice persistenza delle superfici coniche e rigate che si manifesta in tutta la storia del pensiero e della pratica architettonica non è che un esempio di quanto irrefutabile e ampiamente applicabile possa essere la logica della matematica. In questo senso, la geometria dimostra che il suo potere di limitare è paragonabile al suo potere di liberare.

Cameron Wu Nato nel 1972 in Ohio, USA, si è laureato in ingegneria alla Princeton University (dove insegna progettazione e geometria e rappresentazione architettonica e analisi formale) e ha conseguito un master in architettura alla Harvard University. Nella sua pratica architettonica si occupa di analisi tipologica e formale dei precedenti storici e di ricerca e progettazione di geometrie a superficie rigata.

Immagine di apertura: Gehry Partners, simulazioni 3D per la Fondation Louis Vuitton, Parigi, 2014. Courtesy Gehry Technologies/Trimble Consulting
Immagine di anteprima: Tavola pubblicata su "La théorie et la pratique de la coupe des pierres" di Amédée-François Frézier, 1754-1769. Courtesy © Bibliothèque nationale de France